第二章 专题培优课1 函数性质的综合问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

◆专题培优课1　函数性质的综合问题 高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练． 探究1　函数的单调性与奇偶性的综合 (2022·聊城二模)已知f(x)为R上的奇函数，f(2)＝2，若对∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1>x2时，都有(x1－x2)<0，则不等式(x＋1)f(x＋1)>4的解集为(　　) A．(－3，1) B．(－3，－1)∪(－1，1) C．(－∞，－1)∪(－1，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B　解析：由(x1－x2)<0，得(x1－x2)·<0， 因为x1－x2>0，x1x2>0所以x1f(x1)－x2f(x2)<0，即x1f(x1)<x2f(x2)，设g(x)＝xf(x)， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 而g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝2f(2)＝g(2)，则0<x＋1<2，解得－1<x<1； 因为f(x)为R上的奇函数，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)， 则g(x)为R上的偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递增， g(x＋1)＝(x＋1)f(x＋1)>4＝g(－2)，则－2<x＋1<0，解得－3<x<－1. 综上，原不等式的解集为(－3，－1)∪(－1，1). 　(2022·新疆三模)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且当x∈[0，3]时，f(x)＝xex，则下面结论正确的是(　　) A．f(ln 3)<f(e3)<f(－e)　　 B．f(－e)<f(ln 3)<f(e3) C．f(e3)<f(－e)<f(ln 3) D．f(ln 3)<f(－e)<f(e3) A　解析：当x∈[0，3]，f(x)＝xex， f′(x)＝ex(x＋1)>0，∴当x∈[0，3]时，f(x)单调递增； ∵f(x＋6)＝f(x)，∴x∈[18，21]，f(x)单调递增； 又由f(x)为偶函数，f(－e)＝f(e)， f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，则f(e3)＝f(e3－18)， 又由1<ln 3<2<e3－18<e，得 f(ln 3)<f(e3－18)<f(e)， 故f(ln 3)<f(e3)<f(－e). 探究2　函数的奇偶性与周期性的综合 (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　　) A．－3　　 　B．－2　　 　C．0　　 　D．1 A　解析：因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，即f(y)＝f(－y)，所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)的一个周期为6. 因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以 一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4， 所以(k) ＝f(1)＋f(2)＋f(3) ＋f(4) ＝1－1－2－1＝3 　已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 015)＝(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 B　解析：因为函数f(x)是奇函数且满足f＝f(x)，可得f＝－f(x)， 则f(3－x)＝－f＝f(－x)，即f(3－x)＝f(－x)，所以f(x)为周期为3的函数， 又因为数列{an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13， 可得，解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1， 所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 015)＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2 029)， 因为f(－2)＝－3，f(0)＝0，所以f(1)＝－3， 所以f(1)＋f(3)＋f(5)＝0， 所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 015)＝f(1)＋…＋f(2 029)＝f(1)＋f(3)＝－3. 探究3　函数的奇偶性与对称性的综合 将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中