第二章 第四节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．幂函数的概念 一般地，当x为自变量而又为非零实数时，函数y＝x2叫作(2次)幂函数． 2．五个幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 单调性 递增 x∈[0，＋∞)递增， x∈(－∞，0)递减 递增 递增 x∈(0，＋∞)递减 x∈(－∞，0)递减 都经过点(1，1) 3．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；其中(m，n)为抛物线顶点坐标，x＝m为对称轴方程； ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标． (2)二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点． (3)二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 单调性 在(－∞，－]上递减，在[－，＋∞)上递增 在(－∞，－]上 递增，在 上递减 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 ①对称轴：x＝－； ②顶点： 结论拓展 1．幂函数y＝xa(a∈R)在第一象限内图象的画法如下： (1)当a<0时，其图象可类似y＝x－1画出； (2)当0<a<1时，其图象可类似y＝x画出； (3)当a>1时，其图象可类似y＝x2画出． 2．一元二次不等式恒成立的条件 若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 夯基固本 1．判断正误 (1)函数y＝x－是幂函数．(　　√　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　　√　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　√　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　　×　　) (5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　√　　) 2．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) D　解析：设幂函数f(x)＝xα，则2α＝，解得α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D. 3．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 B　解析：图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B. 4.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． C　解析：由题意知，即，解得a>. 5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是______． 答案：－1　解析：函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减， ∴ymin＝2－6＋3＝－1. 6．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案：>　解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0，1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0. 　幂函数的图象与性质　　　　　　　　自主练通 1．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1＜n＜0＜m＜1　　　　　　 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 B　解析：如图，作直线x＝2，y＝x，直线x＝2与y＝xn，y＝x－1，y＝xm，y＝x的图象及y＝x的图象的交点的纵坐标分别为2n，2－1，2m，21， 从图中可观察得2n＜2－1＜1＜2m＜21， 由指数函数y＝2x在R上是增函数，可得n＜－1，0＜m＜1. 2．已知幂函数y＝x (p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则