第二章 第五节 指数与指数函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．根式 n次方根 概念 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根 性质 当n是奇数时，数a的n次方根记作 当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作 根式 概念 式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数 性质 当n为奇数时，＝a 当n为偶数时，＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有关概念 正数的正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N，n≥2) 正数的负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N，n≥2) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指数幂的运算性质 在a>0时，对于任意有理数r，s：ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr 3．无理数指数幂的概念 给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂为au.在幂的表达式中，a叫作底数，u叫作指数. 4．幂运算基本不等式 (1)对任意的正数u和正数a，若a>1则au>1，若a<1，则au<1. (2)对任意的负数u和正数a，若a>1则au<1，若a<1则au>1. 5．指数函数的概念、图象与性质 (1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)这叫作指数函数，其中a＞0，且a≠1. (2)指数函数的图象与性质 表达式 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即a0＝1 当x＜0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在R上递增 在R上递减 结论拓展 1．图象问题 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，. (2)y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称． (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势．简记：撇增捺减． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 夯基固本 1．判断正误 (1)＝＝a(n∈N＋) ).(　　×　　) (2)分数指数幂a 可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　√　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　×　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　√　　) 2．化简的结果是(　　) A．　　　　　 B．－ C． D．－ B　解析：由题意得x<0，所以＝＝＝＝－. 3．(多选)设a>0，则下列运算中不正确的是(　　) 答案：ABC 4．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　) 　 　 C　解析：由0<m<n<1，∴y＝mx，y＝nx 在R上单调递减，所以排除A，B；令x＝1，m<n，C正确． 5．(多选)已知指数函数f(x)＝a－x (a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a 的可能取值为(　　) A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．4 AC　解析：由指数函数f(x)＝a－x＝ (a>0，且a≠1 )，且f(－2)>f(－3)，根据指数函数单调性可知>1，所以0<a<1，故选AC. 6．(忽视开偶次方规则致误)计算＋＝ ________． 答案：2　解析：＋＝1＋＋＝1＋＋－1＝2. 　指数幂的运算　　　　　　　　　　自主练通 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4　　　　 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．＝ D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝，故D正确． 2．(2023·济南历城二中模拟)计算：＋0.002－－10＋π0＝ ________． 答案：－　解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－. 3．已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝________. 答案：3　解析：由题设可得2＝14，2＝7，2＝4，则2－＝＝2， ∴2－＋＝2×4＝23， ∴－＋＝3. 　指数函数的图象及应用　　　　　　　　　　　讲练融通 (1)(2022·河南林州一中模拟)函数f(x)＝ 的图象大致为(　　) 　　　 　　　 (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值