第二章 第六节 对数与对数函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

　 必备知识 1．对数的概念 如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，logaab＝b(a>0，且a≠1，N>0，b∈R). (2)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logbN＝(a>0，a≠1，b>0且b≠1，N>0) 最常用的对数换底公式：logaN＝，logaN＝. 3．对数函数的概念、图象与性质 (1)概念：由于指数函数是严格单调的，等式x＝ay中不同的y对应于不同的x，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算y＝logax(x＞0，a＞0，且a≠1)确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数． (2)对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数.指数函数的定义域(－∞，＋∞)成了对数函数的值域，指数函数的值域(0，＋∞)是对数函数的定义域． 结论拓展 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2) (a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 夯基固本 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (　　×　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y). (　　×　　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数. (　　×　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数. (　　×　　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同. (　　√　　) 2．函数f(x)＝的定义域是(　　 ) A．(0，e)　　　　　　　 B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) B　解析：要使函数f(x)＝有意义，则解得0<x≤e，则函数f(x)的定义域为(0，e].故选B. 3．(多选)下列各式正确的是(　　 ) A．＝loga2　　　　　 B．lg 2＋lg 5＝1 C．(ln x)2＝2ln x D．lg ＝lg x BD　解析：A选项，由换底公式，可得＝log36＝1＋log32，故A错误；B选项，lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故B正确；C选项，(ln x)2＝(ln x)(ln x)≠2ln x，故C错误；D选项，lg ＝lg x＝lg x，故D正确． 4．已知f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(2)，则(　　 ) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a D　解析：画出函数f(x)＝|lg x|，∵f(2)＝|lg 2|＝|－lg 2|＝，且<<，∴f>f>f，即a>b>c. 5．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　 ) A．a>1 B．0<c<1 C．0<a<1 D．c>1 BC　解析：由图象可知0<a<1，y＝logax的图象向左平移c个单位可得y＝loga(x＋c)，故0<c<1. 6．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是______． 答案：1＜a＜2　解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0， ∴u＝2－ax在[0，1]上是x的减函数， 由复合函数关系知y＝logau应为增函数，∴a＞1. 又x在[0，1]上时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数， ∴x＝1时，u＝2－ax取最小值是umin＝2－a＞0即可， ∴a＜2， 综上可知，a的取值范围是