第二章 专题培优课2 指对幂式大小比较问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版 新教材 新高考）

◆专题培优课2　指对幂式大小比较问题 比较大小的问题，是高考命题中热点问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序．这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答．从近两年命题情况看，题目的难度有增大趋势，往往需要构造转化． 探究1　特殊值法、估算法比较大小 (1)(2022·北京海淀二模)已知x>y>0, 则(　　) A．>　　　　　 B．> C．cos x>cos y D．ln (x＋1)>ln (y＋1) (2)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b (1)D　(2)A　解析：(1)取x＝2，y＝1，利用排除法，逐一排除即可的结果． 因为x＝2，y＝1 时，<，<，cos x<cos y ，所以可排除选项A，B，C，故选D. (2)因为a＝log323<log39＝＝c，b＝log533>log525＝＝c，所以a<c<b. 　若a＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a B　解析：由题意，故b>c.又2<2＝2<3，即2<3，所以log42<log43，即<log43，因为a＝log2＝log43，所以c<a. 因为28＝256>243＝35，故log23<<，即2>3，所以log42>log43，所以>log43， 所以b>a，所以b>a>c. 探究2　利用单调性比较大小 (2022·陕西西安一模)已知a＝ln ，b＝ln (lg 2)，c＝lg (ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a A　解析：先比较a，b，易知lg 2<，故ln (lg 2)<ln ，即b<a， 又e<10，故当x>1 时，ln x>lg x，当0<x<1 时，ln x<lg x, 故lg >ln ，而ln 2>，故lg (ln 2)>lg >ln ，有c>a.综上可得b<a<c. 　(2022·江西二模)已知a＝，b＝sin ，c＝ 则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c　　　　　　　 B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a C　解析：a＝＝1，因为y＝sin x 在x∈上是单调递增函数，所以0<b＝sin <sin ＝，因为y＝x 在[0，＋∞)上是单调递增函数，所以1>c＝>＝，所以a>c>b. 探究3　引入媒介值 (2023·泰安模拟)若a＝log23，b＝log34，c＝log45，则a，b，c 的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a D　解析：由题意，log23>log22＝1，log34>log33＝1，log45>log44＝1，即a>1，b>1，c>1， ∵c＝log45＝log225＝log25＝log25＝log2，而a＝log23>log2，所以a>c>1， ∵a＝log23>log22＝，而b＝log34<log33＝，即a>>b>1， 又∵＝log33＝log3，b＝log34＝log3，而44>35，则log3>log3，即b>， 同理，∵＝log44＝log4，c＝log45＝log4，而45>54，则log4，即>c， 综上得：a>>b>>c>1，所以c<b<a. 　已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：由题意可知a，b，c∈(0，1)， ＝＝·<·＝＝<1，∴a<b； 由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<； 由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c， ∴5x>4，可得c>.综上所述，a<b<c. 探究4　数形结合比较大小 设a，b，c 均为正数，且2a＝loga，＝logb，＝log2c，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c A　解析：在同一坐标系中分别画出y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝logx 的图象，y＝2x 与y＝logx 的交点的横坐标为a，y＝ 与y＝logx 的图象的交点的横坐标为b，y＝ 与y＝log2x 的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出a<b<c. 　(多选)(2022·河北邯郸一模)下列大小关系正确的是(　　) ABD　解析：作出y＝2x 和y＝x2 的图象，如图所示，