第十章 第四节 概率与统计的综合问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第四节　概率与统计的综合问题 【例1】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55]，共七组．其频率分布直方图如图所示，已知[25，30)这组的参加者是6人． (1)根据此频率分布直方图求N； (2)组织者从[45，55]这组的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列、均值及方差； (3)已知[35，40)和[40，45)这两组中各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率． 解：(1)[25，30)这组频率为0.03×5＝0.15，所以总数N＝＝40. (2)[45，55]这组的参加者人数为(0.02＋0.01)×5×40＝6.由题意，X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X的分布列为 X 1 2 3 P 则E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. (3)[35，40)这组的参加者人数为0.04×5×40＝8，[40，45)这组的参加者人数为0.03×5×40＝6，恰有1名数学老师的概率为＝. (2023·江苏宿迁模拟)为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测．每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图． (1)指标数不在17.5和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率； (2)技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布N(μ，1.222)，其中μ近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，计算μ值，并计算产品指标数落在[17.56，22.44]内的概率． 参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解：(1)由1×(a＋0.09＋0.22＋0.33＋0.24＋0.08＋a)＝1，解得a＝0.02， 样本中指标数不在17.5和22.5之间的频率为0.02×(1＋1)＝0.04， 所以产品为次等品的概率估计值为0.04. (2)依题意，μ＝17×0.02＋18×0.09＋19×0.22＋20×0.33＋21×0.24＋22×0.08＋23×0.02＝20. 所以X～N(20，1.222)， 所以P(17.56≤x≤22.44)＝P(20－2×1.22≤x≤20＋2×1.22)≈0.954 5. 【例2】(2023·广东东莞模拟)为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下2×2列联表． X Y 总计 了解(Y＝0) 不了解(Y＝1) 男生(X＝0) 60 200 女生(X＝1) 110 200 总计 (1)先完成2×2列联表，并依据α＝0.005的独立性检验，分析该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别是否有关； (2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层随机抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，求“男、女生至少各抽到一名”的概率； ②用样本估计总体，若再从该校全体学生中随机抽取40人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X，求X的数学期望． 附：χ2＝. α 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)由题意可得2×2列联表： X Y 总计 了解(Y＝0) 不了解(Y＝1) 男生(X＝0) 140 60 200 女生(X＝1) 110 90 200 总计 250 150 400 零假设H0：该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别无关(独立).根据所给数据，得χ2＝＝9.6>7.879＝x0.005，并依据α＝0.005的独立性检验，零假设H0不成立，即该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. (2)①采用分层随机抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人， 由题可得不了解冬季奥运会项目的学生中男女比例为2∶3， 故这5人中包含3名女生，2名男生，再从这5人中抽取3人进行面对面交流， 则“男、女生至少各抽到一名”的概率为1－＝1－＝. ②由题意，得学生了解冬季奥运会项目