第九章 第七节 二项分布、超几何分布与正态分布（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第七节　二项分布、超几何分布与正态分布 课标解读 1．了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征； 2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题； 3．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征、均值、方差及其含义． 知识点一　二项分布 1．概念：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 2．均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点二　超几何分布 1．一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s.这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～H(N，n，M)． 2．均值：E(X)＝. 知识点三　正态分布 1．正态曲线：一般地，φ(x)＝e－对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)). 2．正态曲线的性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 3．正态分布：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)． 特别地，μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布． 1．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： (1)是否为n次独立重复试验． (2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2．“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 3．二项分布与两点分布的联系：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布． 4．二项分布与超几何分布的区别和联系：二项分布的抽取是独立的，各次抽取相互独立；超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布． 对于X～N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　√　　) (2)二项分布和超几何分布都是放回抽样．(　　×　　) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　√　　) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P77 T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　) A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45 答案：A 2.(人教B版选择性必修第二册P97练习A T2改编)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 答案：A 3．(北师大版选择性必修第一册P213例1改编)某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，则发生险情时，至少有2台报警的概率是________． 答案：0.972 4．(苏教版选择性必修第二册P129 T3改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，