第九章 微专题系列15——二项分布与超几何分布的辨别（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

微专题系列——二项分布与超几何分布的辨别 教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别． 【例】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些，服从超几何分布的是哪些． (1)X1表示n次重复地抛掷1枚骰子，出现点数是3的倍数的次数； (2)X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和； (3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3； (4)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0). 解：(1)X1的分布列为 X1服从二项分布，即X1～B(n，). (2)X2的分布列为 X2既不服从二项分布，也不服从超几何分布． (3)X3的分布列为 X3服从二项分布，即X3～B(n，). (4)X4的分布列为 X4服从超几何分布． [思维过程] 明确目标→写出分布列，判断随机变量服从二项分布还是超几何分布． 提取信息→(1)X1表示n次重复掷骰子；(2)X2表示连续抛掷2枚骰子；(3)有放回抽取n次；(4)不放回抽取n次． 建立联系→根据二项分布和超几何分布的特征判断随机变量服从哪种分布． 【练】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[490，495)，[495，500)，…，[510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列． 解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件). (2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2， X服从超几何分布． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，任取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B(2，)，P(Y＝k)＝C×(1－)2－k×()k， 所以P(Y＝0)＝C×()2＝，P(Y＝1)＝C××＝，P(Y＝2)＝C×()2＝. ∴Y的分布列为 X 0 1 2 P 学科网（北京）股份有限公司 $