第九章 第六节 离散型随机变量的分布列、均值与方差（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第六节　离散型随机变量的分布列、均值与方差 课标解读 1．了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 知识点一　离散型随机变量的分布列 1．概念：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝Pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 2．性质：(1)pk≥0，k＝1，2，…，n； (2)k＝p1＋p2＋…＋pn＝1． 3．两点分布：一般地，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式， W 1 0 P p 1－p 则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布)，也称伯努利分布． 知识点二　离散型随机变量的均值与方差 1．均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). 2．方差：我们称D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝为离散型随机变量X的方差，并称为离散型随机变量X的标准差． 3．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定． (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． (3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确． (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)若X1，X2为随机变量，则E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (3)X为随机变量，则D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　√　　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　×　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　√　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(人教A版选择性必修第三册P60 T2(1)改编)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 答案：ABC 2．(苏教版选择性必修第二册P106 T2改编)设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P p 则p的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 3．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 答案：　解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝. 4．(人教B版选择性必修第二册P89练习A T5改编)医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高，记病毒侵入后人体的平均体温为X ℃.医学统计发现，X的分布列如下． X 37 38 39 40 P 0.1 0.5 0.3 0.1 则E(X)＝________，D(X)＝________． 答案：38.4　0.64 1.(2023·江苏宿迁模拟)袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　) A．5 B．9 C．10 D．25 B　解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中的某一个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B. 2．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则P(|X－3|＝1)＝(　　) A． B． C． D． B　解析：根据分布列的性质，得＋m＋＋＝1，则m＝，随机变量X的分布列为