第六章 微专题系列8——求解数列问题的四大常用技巧（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

微专题系列❽——求解数列问题的四大常用技巧

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题时可以不必求出每个量，从整体上使用公式．

【例1】等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．5

C　解析：方法一　因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2，同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝＝＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.

方法二　设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝＝.

又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×()2＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×()3＝1，

所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.

[思维过程]

明确目标→求a9＋a11＋a13＋a15的值．

提取信息→{an}为等比数列，且a1＋a3＝8，a5＋a7＝4.

建立联系→(方法一)利用等比中项求解；(方法二)寻找a1＋a3与a5＋a7之间的联系，得q4，进而求值．

当题中涉及(－1)n或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时，按照n为奇数和偶数分别求解，最后再整合求解结果．

【例2】若数列{an}的通项公式为an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－1·，则数列{bn}的前n项和Tn＝________．

答案：－(－1)n　解析：由题意得

bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1·

＝(－1)n－1(＋)，

当n为偶数时，Tn＝(＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－；

当n为奇数时，Tn＝(＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝＋.

所以Tn＝－(－1)n.

[思维过程]

明确目标→求{bn}的前n项和Tn.

提取信息→已知{an}的通项公式及bn的通项公式．

建立联系→利用对数运算，化简数列{bn}的通项公式，分n为奇数、偶数裂项求解．