第六章 第二节 第1课时 等差数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第二节　等差、等比数列

知识点一　等差数列

1．等差数列的定义式：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*).

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

(2)推广式：an＝am＋(n－m)d．

推广式的变形d＝．

(3)an＝pn＋q(p，q是常数)(即an是n的一次函数).

(4)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝．

3．等差数列的常用性质

(1)如果x，A，y是等差数列，则称A为x与y的等差中项，即A＝．

(2)若{an}为等差数列，则an－1＝(n≥3).

(3)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t(p，q，s，t∈N*)，则ap＋aq＝as＋at．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.

(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项).

(7)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

4．等差数列与函数的关系

(1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点．

注：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．

(2)前n项和公式可变形为Sn＝n2＋(a1－)n，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋(a1－)x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点．

注：若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

知识点二　等比数列

1．等比数列的定义式：＝q恒成立，则称{an}为等比数列．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)通项公式的推广：an＝amqn－m(m∈N*).

(3)前n项和公式：

Sn＝

3.等比数列的性质

(1)如果x，G，y是等比数列，则称G为x与y的等比中项，即G＝±．

(2)如果{an}是等比数列，且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq．特别地，如果2s＝p＋q，则a＝apaq．

(3)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，其公比为qn．

1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2．(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0；

(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如0，0，0，….

(3)在等比数列{an}中，若as·at＝ap·aq(s，t，p，q∈N*)，则不一定有s＋t＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．

(4)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(5)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

(1)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0).

(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B，其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件．

(3)在数列{an}中，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　×　　)