第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第二节　平面向量基本定理及坐标表示

知识点一　平面向量基本定理

1．基底：平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}．

2．定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．

知识点二　平面向量的运算及坐标表示

1．平面向量的坐标

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

2．平面上向量的运算与坐标的关系

假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，ua＋υb＝(ux1＋υx2，uy1＋υy2)，ua－υb＝(ux1－υx2，uy1－υy2)，|a|＝．

3．两点间的距离公式与中点坐标公式

(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则AB＝||＝．

(2)设线段AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝.

4．向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x2y1＝x1y2．

关于基底向量的三个关注点

(1)基底{a，b}必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．

(3)如果对于一组基底{a，b}，有λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b，则可以得到

(1)向量与坐标之间用等号连接．

(2)点的坐标是在表示点的字母后直接加坐标．

(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定．

(4)a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.

(1)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔存在不全为零的x，y∈R，使xa＋yb＝0⇔x1y2－x2y1＝0.

一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　　×　　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　√　　)

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　×　　)

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第二册P29例4改编)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　　)

A．(1，2)     B．(－1，－2)

C．(－1，2)     D．(1，－2)

答案：B

2．(人教B版必修第二册P155例5改编)如图，＝2，＝a，＝b，＝c，下列等式中成立的是(　　)

A．c＝b－a     B．c＝a－b

C．c＝2a－b     D．c＝2b－a

答案：B

3．(苏教版必修第二册P25例1改编)已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点，设＝a，＝b，则＝(　　)

A．(a＋b)     B．(a－b)

C．(b－a)     D．a＋b

答案：A

4．(湘教版必修第二册P29 T6改编)已知向量＝(1，－2)，＝(2，－3)，＝(3，t)，若A，B，C三点共线，则实数t＝________．

答案：－4