第五章 第三节 平面向量的数量积及综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第三节　平面向量的数量积及综合应用

知识点一　平面向量的数量积

1．向量的夹角

给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

2．平面向量的数量积

 

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

知识点二　平面向量数量积的坐标表示

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论	几何表示	坐标表示
模	|a|＝	|a|＝
夹角	cos θ＝	cos θ＝
a⊥b的充要条件	a·b＝0	x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系	|a·b|≤|a||b|	,|x1x2＋y1y2|≤

只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，例∠BAC不是与的夹角，因为与的起点不重合．

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；

(3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立).

一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　√　　)

(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　×　　)

(3)(a·b)c＝a(b·c).(　　×　　)

(4)两个向量的夹角的范围是.(　　×　　)

二、版本互鉴

1．(多选)(人教B版必修第三册P90 习题81A T4改编)下列各对向量垂直的有(　　)

A．a＝(－3，2)，b＝(4，6)

B．a＝(7，1)，b＝(－2，14)

C．a＝(，)，b＝(2，－)

D．a＝(3，5)，b＝(5，3)

答案：AB

2．(人教B版必修第三册P112 A组 T3改编)已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a＋3b|的值为(　　)

A．13     B．

C．4     D．

答案：B

3．(苏教版必修第二册P22 T3改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝(　　)

A．45°    B．135°    C．－45°    D．30°

答案：A

4．(人教B版必修第三册P86习题81B T2改编)已知△ABC的三个顶点为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形     B．直角三角形