第五章 第四节 复 数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第四节　复　数

知识点一　复数的概念

1．复数的定义

一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，其中实部是a，虚部是b．

2．复数的分类

(a，b∈R)

3．复数的有关概念

(1)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)；

(2)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)；

(3)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R).

4．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

知识点二　复数的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：

(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)＝＝＝(c＋di≠0).

知识点三　复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(1)虚数不能比较大小；

(2)复数集包含实数集与虚数集．

复数运算的几个重要结论

(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2).

(2)·z＝|z|2＝||2.

(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.

(4)(1±i)2＝±2i.

(5)＝i；＝－i.

(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N).

一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　×　　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　×　　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　×　　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　　√　　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第二册P69例1改编)若a∈R，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　　)

A．a≠2且a≠－1     B．a＝0

C．a＝2     D．a＝0或a＝2

B　解析：复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则解得a＝0.

2．(人教A版必修第二册P94 T1(3)改编)当<m<1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

答案：D

3．(多选)(人教B版必修第四册P50 A组T1改编)下列命题是真命题的是(　　)

A．i是无理数     B．1＋i不是纯虚数

C．3＋i的共轭复数是3－i     D．i4＋5i2＋4＝0

答案：BCD

4．(苏教版必修第二册P117例5改编)复数z＝＝________．

答案：2＋i

5．(人教B版必修第四册P51 A组T3改编)已知复数z＝－(m－m2)i，则：(1)当实数m＝________时，z是实数；(2)当实数m∈______，z在复平面内对应的点在第二象限．

答案：(1)1　(2)(－2, 0)