第四章 第六节 第1课时 利用正弦定理、余弦定理解三角形（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第六节　正弦定理、余弦定理及其实际应用 课标解读 1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 知识点一　正弦定理、余弦定理 正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形 a＝2R sin A， b＝2R_sin_B， c＝2R_sin_C； sin A＝， sin B＝， sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； a sin B＝b sin A， b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二　三角形的面积公式 三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高). (2)S＝bc sin A＝ac_sin_B＝ab_sin_C． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径). 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 在△ABC中，常用以下结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中，大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　×　　) (2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　×　　) (3)在△ABC中，＝.(　　√　　) (4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第二册P44例6改编)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c＝(　　) A． B．2 C． D．3 B　解析：由余弦定理得cos B＝，即－＝，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值已舍去). 2．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　　) A.30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° A　解析：由正弦定理得＝，解得sin A＝，因为a＜b，所以A为锐角，所以A＝30°. 3．(多选)(人教B版必修第四册P19 A组 T3改编)已知△ABC是锐角三角形，且a＝2b sin A，则∠B＝________；若a＝3，c＝5，则b＝________． 答案：　 4．(多选)(人教B版必修第四册P20 A组 T8改编)如图，为测量山高MN，选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN为________m. 答案：150 第❶课时　利用正弦定理、余弦定理解三角形 1.(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 D　解析：由余弦定理，得cos 120°＝.化简得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去). 2．(2023·湖北襄阳高三期末)在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则角B的最大值为(　　) A． B． C． D． A　解析：设AB＝x，则x>0，由余弦定理，得cos B＝＝＝＋≥2 ＝，当且仅当x＝2时，等号成立．因为0<B<π，则0<B≤.即角B的最大值为. 3．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________． 答案：2　解析：由题意得S△ABC＝ac sin B＝， 即ac·＝，解得ac＝4. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝3ac－2ac·＝8，