第三章 微专题系列5——导数运算的创新题型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

微专题系列❺——导数运算的创新题型 导数及其运算与新定义运算法则、新定义周期性相交汇形成各类考试的亮点，下面结合例题进行说明． 【例1】对于函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f′(x)是f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g()＋g()＋…＋g()的值为(　　) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 C　解析：依题意，得g′(x)＝x2－x＋3，g″(x)＝2x－1， 令g″(x)＝2x－1＝0，可得x＝，而g()＝1， 所以函数g(x)的图象关于点(，1)对称，即g(1－x)＋g(x)＝2. 故g()＋g()＋…＋g() ＝＋＋…＋g()＝2×＋1＝2 019. [思维过程] 明确目标→求函数值的和． 提取信息→函数“拐点”的定义及探究发现的结论． 建立联系→根据条件任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心，得到结论g(1－x)＋g(x)＝2，根据此结论求解函数值的和． 【例2】设函数fn′(x)是fn(x)的导函数，f0(x)＝ex(cos x＋sin x)，f1(x)＝，f2(x)＝，…，fn＋1(x)＝(n∈N*)，则f2 020(x)＝(　　) A．ex(cos x＋sin x)　 B．ex(cos x－sin x) C．－ex(cos x＋sin x) D．－ex(cos x－sin x) C　解析：根据题意f0(x)＝ex(cos x＋sin x)， f0′(x)＝ex(cos x＋sin x)＋ex(－sin x＋cos x)＝2ex cos x， 则f1(x)＝＝ex cos x，f1′(x)＝ex(cos x－sin x)， f2(x)＝＝ex(cos x－sin x)，f2′(x)＝－2ex sin x， f3(x)＝＝－ex sin x，f3′(x)＝－ex(cos x＋sin x)， f4(x)＝＝－ex(cos x＋sin x)，f4′(x)＝－2ex cos x， f5(x)＝＝－ex cos x，f5′(x)＝－ex(cos x－sin x)， f6(x)＝＝－ex(cos x－sin x)，f6′(x)＝2ex sin x， f7(x)＝＝ex sin x，f7′(x)＝ex(cos x＋sin x)， f8(x)＝＝ex(cos x＋sin x)，f8′(x)＝2ex cos x， f9(x)＝＝ex cos x＝f1(x)，…， 所以fn(x)的解析式以8为周期，呈周期性变化，所以f2 020(x)＝f4(x)＝－ex(cos x＋sin x). [思维过程] 明确目标→求f2 020(x)的值． 提取信息→已知f0(x)，f1(x)，f2(x)，…，fn＋1(x)的表达形式． 建立联系→通过计算f1(x)，f2(x)，…，f8(x)的值，归纳总结出函数fn(x)取值的周期性，利用周期性求f2 020(x)的值． 学科网（北京）股份有限公司 $