第三章 拓展深化一 分类讨论法解含参函数的单调性问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

拓展深化一　分类讨论法解含参函数的单调性问题 函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致函数单调性的变化，因而解决问题时需要进行分类讨论．而在进行分类讨论时往往因找不到分类讨论界点，导致解题步骤不完整或无法解题，下面针对含参函数单调性问题从四个角度举例如下： 角度1　由二次项系数引起的分类讨论 【例1】设函数f(x)＝ax－＋ln x，且f(1)＝0.若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围． 解：由f(1)＝0，得a－b＝0，即a＝b，所以f(x)＝ax－＋ln x，x∈(0，＋∞). 于是f′(x)＝a＋＋＝. ①当a＝0时，f′(x)＝>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足题意． ②当a>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足题意． ③当a<0时，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则ax2＋x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，显然不可能； 若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则ax2＋x＋a≤0在(0，＋∞)上恒成立，而y＝ax2＋x＋a的图象的对称轴为直线x＝－，且－>0，所以ax2＋x＋a＝0的根的判别式Δ＝1－4a2≤0，解得a≤－. 综上，实数a的取值范围是(∪[0，＋∞). [探究提高] 若导函数f′(x)解析式的局部可构造成二次项系数含有参数的二次型函数，则必须讨论二次项系数，往往分为系数为零、系数为正、系数为负三种类型，再判断f′(x)的符号或确定f′(x)的零点，从而实现解题目标． 角度2　由区间的包含关系引起的分类讨论 【例2】已知函数f(x)＝2ln x＋x2－5x在区间(k－，k)上为单调函数，则实数k的取值范围是________． 答案：∪[1，2]∪　解析：f′(x)＝＋2x－5＝＝，x>0. 当x∈(0，)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(0，)，(2，＋∞)上单调递增． 当x∈(，2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(，2)上单调递减． 要使函数f(x)在(k－，k)上单调，则(k－，k)⊆(0，)或(k－，k)⊆(2，＋∞)或(k－，k)⊆(，2)， 解得k＝或k≥或1≤k≤2. 综上，实数k的取值范围是∪[1，2]∪. [探究提高] 对于已知f(x)在某个待定区间上的单调性，要确定此单调区间中参数的取值范围问题，必须先求函数f(x)在定义域上的单调区间，再按待定区间是每个单调区间的子区间分类讨论，列出相应的不等式(组)，获得参数的取值范围． 角度3　由f′(x)的零点引起的分类讨论 【例3】已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R，a<0)，其图象在点(1，f(1))处的切线平行于x轴．试讨论函数f(x)在定义域上的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax＋b－. 因为f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝2a＋b－1＝0，b＝－2a＋1. 于是f′(x)＝2ax－－2a＋1＝. 由＝0，得x1＝－，x2＝1. ①当－＝1，即a＝－时，f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当－>1，即－<a<0时，当0<x<1或x>－时，f′(x)<0；当1<x<－时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，(－，＋∞)，单调递增区间是(1，－). ③当－<1，即a<－时，f(x)的单调递减区间是(0，－)，(1，＋∞)，单调递增区间是(－，1). 综上，当a＝－时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－<a<0时，f(x)在(0，1)，(－，＋∞)上单调递减，在(1，－)上单调递增；当a<－时，f(x)在(0，－)，(1，＋∞)上单调递减，在(－，1)上单调递增． [探究提高] 　一般地，当f′(x)有不止一个零点且零点大小关系无法确定时，就无法确定f′(x)>0或f′(x)<0的解集，进而无法确定函数f(x)的单调区间，此时必须对零点的大小关系分类讨论．若f′(x)有两个零点x1，x2，往往分成x1>x2，x1＝x2，x1<x2三类讨论，由此实现解题目标． 角度4　由函数定义域引起的分类讨论 【例4】设函数f(x)＝＋2ln x，其中a∈R且a≠0.试讨论函数f(x)的单调性． 解：f′(x)＝－＋＝(x>0且x≠－a).方程2x2＋(4a－1)x＋2a2＝0的根的判别式Δ＝(4a－1)2－16a2＝1－8a.当Δ>0时，方程2x2＋(4a－1)x＋2a2＝0有两个不相等的实根，不妨令x1＝，x2＝. (1)若a>0，则f′(x)的定义域是(0，＋∞). ①当a≥时，Δ≤0，从而f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当0<a<时，Δ>0，x1＋x2＝>0，x1x2＝a2>0，所以x