第三章 拓展深化四 二次求导法解难以判断f′(x)符号的问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

拓展深化四　二次求导法解难以判断f′(x)符号的问题 【例】已知函数f(x)＝ex－x ln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数． (1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围． 解：(1)由f(x)＝ex－x ln x，知f′(x)＝e－ln x－1，则f′(1)＝e－1，f(1)＝e， 故所求切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1. (2)∵f(x)＝ex－x ln x，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R， ∴g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立等价于ex－tx2＋x－ex＋x ln x≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即t≤对任意的x∈(0，＋∞)恒成立． 令F(x)＝，则F′(x)＝＝， 令G(x)＝ex＋e－－ln x，则G′(x)＝ex－－＝>0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立． ∴G(x)＝ex＋e－－ln x在(0，＋∞)上单调递增，且G(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，G(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，G(x)>0，即当x∈(0，1)时，F′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，F′(x)>0， ∴F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(1)＝1， ∴t≤1，即t的取值范围是(－∞，1]. [探究提高] 　本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t的范围问题，实际上是求F(x)＝的极值问题，问题是F′(x)＝(ex＋e－－ln x)这个方程求解不易，这时我们可以尝试对G(x)＝ex＋e－－ln x再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难时，考虑用二次求导不失为一种妙法． 【练】若对任意正实数x，y，不等式(2x－y)·(ln y－ln x＋1)≤恒成立，求实数a的取值范围． 解：由(2x－y)(ln y－ln x＋1)≤，x>0，y>0，得≤， 设f(x)＝(2－x)(ln x＋1)，即f(x)≤恒成立， f′(x)＝－(ln x＋1)＋(2－x)·＝－ln x＋－2，f″(x)＝－－＝－<0， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f′(1)＝0， 所以当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0； 即函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故当x＝1时，f(x)取最大值，为f(1)＝1，即1≤，所以0<a≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $