第三章 第三节 第2课时 利用导数证明不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第❷课时　利用导数证明不等式 【例1】(2022·河北保定一模)已知函数f(x)＝ln x＋2，g(x)＝e2x－ln (a>0). (1)设函数h(x)＝f(x＋1)－x－2，求h(x)的最大值； (2)证明：f(x)≤g(x). (1)解：因为h(x)＝ln (x＋1)－x(x>－1)，所以h′(x)＝－1＝－(x>－1). 当x∈(－1，0)时，h′(x)>0；当x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0. 所以h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，则h(x)max＝h(0)＝0. (2)证明：原不等式等价于φ(x)＝e2x－a ln x－2a－a ln ≥0， 则φ′(x)＝2e2x－＝，令m(x)＝2e2x－，则m′(x)＝4e2x＋>0， 所以φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 令t(x)＝2xe2x－a，则t(0)＝－a<0，t(a)＝2ae2a－a＝a(2e2a－1)>0， 所以，存在唯一x0∈(0，a)使得t(x0)＝2x0e2x0－a＝0，即φ′(x0)＝2e2x0－＝0， 当0<x<x0时，φ′(x)<0；当x>x0时，φ′(x)>0， 此时φ(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 要证φ(x)≥0，即要证φ(x0)≥0. 于是原问题转化为证明不等式组 由2e2x0－＝0，得e2x0＝，对e2x0＝两边取对数得ln x0＝ln －2x0，代入φ(x0)得φ(x0)＝＋2ax0－2a. 因为φ(x0)＝＋2ax0－2a≥2 －2a＝0，当且仅当x0＝，a＝e时，等号成立， ∴φ(x)≥0，原不等式得证． (2022·湖南株洲模拟)已知函数f(x)＝ex－ln x，g(x)＝xex＋. (1)求函数f(x)的单调区间及在[t，t＋1](t>0)上的最小值； (2)证明：当x>0时，xf(x)<g(x). (1)解：由f(x)＝ex－ln x，得f′(x)＝e－＝，x∈(0，＋∞)， 令f′(x)>0，得ex－1>0，即x>，因此函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． ①当0<t＋1≤，即－1<t≤<0时，与题设矛盾，舍去， ②当t≥时，函数f(x)在[t，t＋1](t>0)上单调递增， 因此f(x)min＝f(t)＝et－ln t； ③当0<t<<t＋1，即0<t<时，函数f(x)在(t，)上单调递减，在(，t＋1)上单调递增， 因此f(x)min＝f()＝1－ln ＝2. 综上，当t≥时，f(x)min＝et－ln t；当0<t<时，f(x)min＝2. (2)证明：设h(x)＝ex－ex，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝ex－e，易得函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因此h(x)min＝h(1)＝0，故ex≥ex恒成立． 要证xf(x)<g(x)，只需证ex2－x ln x<xex＋，因为ex≥ex，所以xex＋≥ex2＋， 故只需证ex2－x ln x≤ex2＋(因为x＝1时，左边小于右边，所以可以带等号)，即证x ln x≥－. 令φ(x)＝x ln x，则φ′(x)＝ln x＋1，易得函数φ(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 因此φ(x)≥φ()＝－，故x ln x≥－. 因此当x>0时，xf(x)<g(x). 【例2】(2022·湖北黄冈模拟)已知f(x)＝x2－x ln x. (1)求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)当a∈(0，2e)时，证明：2x2－(2x＋a)·ln x>0. (1)解：因为f(x)＝x2－x ln x，则f(1)＝1， f′(x)＝2x－ln x－1，则f′(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x. (2)证明：由题意，可知x>0，要证明2x2－(2x＋a)ln x>0，即证x－ln x>， 令g(x)＝x－ln x，则g′(x)＝1－＝， 当g′(x)<0⇒0<x<1，当g′(x)>0⇒x>1， 所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1. 令h(x)＝，则h′(x)＝， 因为a∈(0，2e)，所以当h′(x)<0，解得x>e，当h′(x)>0，解得0<x<e， 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减． 所以h(x)≤h(e)＝<1，所以g(x)>h(x)恒成立，即x－ln x>恒成立， 所以当a∈(0，2e)时，2x2－(2x＋a)ln x>0. (2023·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝ex2－x ln x．求证：当x＞0时，f(x)＜xex＋. 证明：要证f(x)＜xex＋，只需证ex－ln x＜ex＋，即ex－ex＜ln x＋. 令h(x)＝l