第三章 第三节 第3课时 利用导数研究函数零点问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第❸课时　利用导数研究函数零点问题 【例1】(2022·江苏常州模拟)已知函数f(x)＝ax－xa(x>0)，其中a>1. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a≥e(e为自然对数的底数)时，求函数f(x)的零点个数并说明理由． 解：(1)因为f(x)＝ax－xa，其中x>0，则f′(x)＝ax ln a－axa－1， 由已知可得f′(1)＝a ln a－a＝a(ln a－1)＝0. 因为a>1，解得a＝e. (2)因为x>0，由f(x)＝ax－xa＝0，得x ln a＝a ln x，可得＝， 问题转化为当a≥e时，直线y＝与曲线g(x)＝的交点个数． g′(x)＝，由g′(x)＝0，得x＝e. 当0<x<e时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，则g(x)max＝g(e)＝， 当x>1时，g(x)＝>0，作出直线y＝与曲线g(x)＝的图象如图所示． 由图可知，当a＝e时，直线y＝与曲线g(x)＝的图象只有一个交点，此时函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点；当a>e时，0<g(a)<g(e)＝，此时直线y＝与曲线g(x)＝的图象有两个交点，此时函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 综上，当a＝e时，函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点；当a>e时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋(x>0)，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，∴f(x)的极小值为2. (2)由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0). 设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)·(x＋1). 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，∴x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝， 又∵φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的大致图象(如图)可知， ①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<时，函数g(x)有两个零点． 【例2】(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝ (x>0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝ (x>0)，f′(x)＝ ＝ (x>0)， 令f′(x)＝0，得x＝ ，当0<x< 时，f′(x)>0，当x> 时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(上单调递增；在上单调递减． (2)f(x)＝ ＝1⇔ax＝xa⇔x ln a＝a ln x⇔ ＝，设函数g(x)＝ (x>0)，则g′(x)＝ ， 令g′(x)＝0，得x＝e， 在(0，e)上g′(x)>0，g(x)单调递增；在(e，＋∞)上g′(x)<0，g(x)单调递减； ∴g(x)max＝g(e)＝ ， 又g(1)＝0，当x趋近于＋∞时，g(x)趋近于0， 所以曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，即曲线y＝g(x)与直线y＝ 有两个交点的充分必要条件是0< < ，即g(1)<g(a)<g(e)，结合g(x)的单调性可知1<a<e或a>e. 所以a的取值范围是(1，e)∪(e，＋∞). 已知函数f(x)＝e2x＋(1－2a)ex－ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在定义域内至多有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)由题意，函数f(x)定义域为R， f′(x)＝2e2x＋(1－2a)ex－a＝(2ex＋1)·(ex－a). 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上为增函数； 当a>0时，令f′(x)＝0，即ex－a＝0，解得x＝ln a， 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln a)上为减函数， 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(ln a，＋∞)上