第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课标解读 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝. 2．借助单位圆的对称性，利用定义推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 知识点一　同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R). 2．商数关系：tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z). 知识点二　三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 记忆口诀 函数名不变 函数名改变，符号看象限 (1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号；(2)商数关系的作用：弦切互化． 同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α(α≠＋kπ，k∈Z). 诱导公式的记忆口诀规律：奇变偶不变，符号看象限． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)使sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　×　　) (2)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　×　　) (3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　×　　) (4)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P189例1改编)sin 1 665°的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 2．(北师大版必修第二册P26 T3改编)已知sin (＋α)＝，那么cos α＝________． 答案： 3．(湘教版必修第一册P170例13改编)化简：·sin ·cos (＋α)＝________. 答案：－cos2α 4．(人教A版必修第一册P186T6改编)已知tan α＝，α∈(π，)，则cos α的值是________. 答案：－　解析：由tan α＝，可得＝.又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝.因为α∈，所以cosα＝－. 5．(人教B版必修第三册P71 B组 T2改编)已知α为第二象限的角，则cos α·＋sin α＝________． 答案：sin α－cos α 1.点A(sin 2 021°，cos 2 021°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　解析：sin 2 021°＝sin 221°＝－sin 41°＜0，cos 2 021°＝cos 221°＝－cos 41°＜0. 2．若sin (＋α)＝－，且α∈(，π)，则sin (π－α)＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　解析：由sin (＋α)＝cos α＝－，且α∈(，π)，得sin α＝，所以sin (π－α)＝sin α＝. 3．已知cos (－θ)＝a，则cos (＋θ)＋sin (－θ)的值是________． 答案：0　解析：因为cos (＋θ)＝cos ＝－cos (－θ)＝－a，sin (－θ)＝sin [＋(－θ)]＝cos (－θ)＝a，所以cos (＋θ)＋sin (－θ)＝0. 考法1　知弦求弦、切或知切求弦 【例1】(1)设cos (－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　) A．　　　　　　　 B．－ C． D．－ (2)(2023·江苏南通模拟)若＝2，则tanα＝(　　) A． B．－1 C．或－1 D．－ (1)B　(2)A　解析：(1)∵cos (－80°)＝cos 80°＝k，∴sin 80°＝＝，∴tan100°＝－tan 80°＝－. (2)因为＝2，所以＝＝＝＝，即＝2，解得tan α＝.故选A. 考法2　关于sin α，cos α的齐次式问题 【例2】(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． C　解析：原式＝ ＝＝sin2θ＋sinθcos θ ＝＝＝＝. (2023·河北承德模拟)已知角α的终边落在直线y＝－