第四章 第四节 三角函数的图象与性质（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第四节　三角函数的图象与性质 课标解读 1．能画出y＝sinx，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质，理解正切函数在(－，)上的性质． 知识点一　用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1．在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 2．在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1，1] ,[－1，1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上是增函数，无减函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋，0)(k∈Z) 对称中心是(，0)(k∈Z)，无对称轴 (1)写单调区间时，不要忘记k∈Z. (2)求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误． (3)函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期都是，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期是. (4)y＝sin x与y＝cos x的对称轴经过函数图象的最高(低)点，三角函数图象的对称中心不一定在函数图象上，如y＝tan x. (5)正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的． (6)①y＝tan x无单调递减区间； ②y＝tan x在整个定义域内不单调． 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的图象的对称轴是y轴.(　　×　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　×　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　×　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　√　　) (5)若sin x＞，则x＞.(　　×　　) (6)由sin (＋π)＝sin 知，π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(人教B版必修第三册P64习题73A T4改编)下列函数是偶函数的有(　　) A．y＝－2sin 2x B．y＝|sin x| C．y＝3cos x＋1 D．y＝tan x－1 答案：BC 2．(人教A版必修第一册P199例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图是(　　) 答案：D 3．(苏教版必修第一册P191 T2改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 4．(人教B版必修第三册P65习题73B T7改编)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上单调递减的是(　　) A．y＝cos x B．y＝2|sin x| C．y＝cos D．y＝tan x 答案：B 5．(人教A版必修第一册P201例2改编)已知函数f(x)＝cos (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________． 答案：2 6．(北师大版必修第二册P50 T4改编)函数y＝sin (x＋)的单调递增区间为________． 答案：(k∈Z) 7．(人教B版必修第三册P65习题73B T4改编)函数y＝cos2x＋2sinx－3的最小值是________，此时x值的集合是________． 答案：－