第二章 第二节 第2课时 函数的奇偶性、周期性与对称性（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第❷课时　函数的奇偶性、周期性与对称性 1．(2023·安徽芜湖模拟)下列函数中是奇函数的是(　　) A．y＝x3＋1 B．y＝ln |x| C．y＝sin (x＋) D．y＝ex－e－x D　解析：对于A，f(x)＝x3＋1，f(1)＝2，f(－1)＝0，故f(x)为非奇非偶函数，对于B，f(x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|，f(x)为偶函数，对于C，f(x)＝sin (x＋)＝cos x，f(x)为偶函数，对于D，易知定义域为R，f(x)＝ex－e－x，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，f(x)为奇函数． 2．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 ABC　解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x).所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数，所以f(x)|f(x)|是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)·f(x)是奇函数． 3．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是________． 答案：奇函数　解析：方法一　当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． 方法二　作出f(x)的图象，由图象可知f(x)为奇函数． 1.(2023·江西南昌模拟)若f(x)＝为奇函数，则g(－2)＝(　　) A．－8 B．－4 C．－2 D．0 A　解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－4，又f(－2)＝g(－2)＋4，可得g(－2)＝－8. 2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 答案：1　解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1. 3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 022)＋f(2 024)的值为________． 答案：0　解析：由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数， ∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2 022)＋f(2 024)＝f(2 023－1)＋f(2 023＋1)＝0. 【例1】(2023·湖南六校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 024)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－5 D　解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－f(0＋2)＝－(22＋log22)＝－5. 1．(2023·江苏苏州模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 A　解析：∵f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即y＝f(x)的周期为4.∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 2．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________． 答案：　解析：由题意易知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋|＝，所以f(f(15))＝f()＝cos ＝. 3．f(x)是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时f(x)＝2x－x2.则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝________． 答案：1　解析：∵对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是以4为周期的周期函数．当x∈[0，2]时f(x)＝2x－x2.∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，而f(3)＝－f(1)＝－1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013) ＝503[f(0)＋f(1)＋