第二章 第二节 第3课时 函数性质的综合问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第❸课时　函数性质的综合问题 【例1】设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex.若a＝f(－π)，b＝f(log23)，c＝f(2－0.2)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b C　解析：当x＞0时，f(x)＝ln x＋ex为增函数， ∴f(x)的图象关于y轴对称，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，a＝f(－π)＝f(π)， 又π＞3＞log23＞1＞2－0.2＞0， ∴f(－π)＞f(log23)＞f(2－0.2)，∴a＞b＞c. (2023·湖南雅礼检测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D　解析：当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0，得x＞3.又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). 【例2】(2023·福建三明模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)， 可得f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4， 则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1， 所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1， 解得－1＜a＜3. 已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 C　解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1). 由f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)是周期为4的周期函数． 由f(x)为奇函数得f(0)＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，关于原点中心对称， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 【例3】(1)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) (1)D　(2)D　解析：(1)因为f(x＋1)是奇函数， 所以f(x)关于(1，0)中心对称，所以f(1)＝0， 因为f(x＋2)是偶函数， 所以f(x)关于直线x＝2对称，周期为4， 所以f(0)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1)， 即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6， 代入可得解得即当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2， 因此f()＝f()＝－f()＝－(－2×＋2)＝. (2)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)， ∴函数f(x)是以8为周期的周期函数， 则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1). ∵f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)， 即f(－25)＜f(80)＜f(11). 1．(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f