第二章 第三节 第1课时 指数与对数运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第三节　指数函数、对数函数 第❶课时　指数与对数运算 课标解读 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 知识点一　指数 1．根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)； (2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝． 2．分数指数幂的意义 (1) ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)； (2) (a>0，m，n∈N*，n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 知识点二　对数 1．对数的概念 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数. 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数． 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)()＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (4)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A必修第一册P109 T2)设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－＝0 D．(a)4＝a 答案：D 2．(苏教版必修第一册P79 T2改编)设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) A．a B．a C．a D．a 答案：C 3．(人教B版必修第二册P23 练习A T3改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a A　解析：log1210＝＝＝. 1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝ D　解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a－)4＝，故D正确． 2．若x＋x－＝3，求的值． 解：由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7， ∴x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45. 由(x＋x－)3＝33，得x＋3x＋3x－＋x－＝27. ∴x＋x－＝18，∴x＋x－－3＝15， ∴＝. 3．化简下列各式： (1)(2)0＋2－2×(2)－－(0.01)0.5 ； (2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3) ； (3) 解：(1)原式＝1＋×()－()＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3) ＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－. (3)原式＝. 1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝. 2．(多选)(2022·广东汕头二模)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ AD　解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)， 则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， ∴＝logM4，＝logM6，＝logM9. ∵logM4＋logM9＝2logM6， ∴＋＝，即＝－， 整理得，ab＋