第二章 第四节 幂函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第四节　幂函数 课标解读 通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 知识点　幂函数 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象(如下图) 3.幂函数的共同特征 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)． (2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴． 幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)解析式只有一项． 有关幂函数的几个结论 对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1).(　　×　　) (2)幂函数的图象不可能出现在第四象限．(　　√　　) (3)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　√　　) (4)若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教B版必修第二册P38习题44B T3改编)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝x2＋x－2 B．f(x)＝x＋3x C．f(x)＝x3＋x D．f(x)＝2x4＋x－ 答案：C 2．(人教A版必修第一册P91 T2改编)()与()的大小关系是________．(用“＜”连接) 答案：()<() 3．(人教A版必修第一册P91 T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 答案：c<b<a　解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 1.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 B　解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示).将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B. 2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 D　解析：由图象可知，0<m<1，n<0.当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的上方，则－1<n. 综上可知，－1<n<0<m<1.故选D. 考向1　比较大小问题 【例1】(1)若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c (2)(2023·山东潍坊模拟)若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是________． 答案：(1)D　(2)(－∞，－1)∪(，)　解析：(1)因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝()>b＝()，因为y＝()x是减函数，所以a＝()<c＝()，所以b<a<c. 故选D. (2)不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c　　　　　　　 B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b A　解析：∵a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5，幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，∴b<a<c.故选A. 考向2：奇偶性与单调性的综合应用 【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　) A．－1<m<3 B．0 C．1 D．2 C　解析：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z，∴m＝0，1，2. 而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数．∴m＝1. 故选C. 1．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　) A．1 B．2 C．1或