第一章 第二节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第二节　常用逻辑用语 课标解读 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 知识点一　全称量词与存在量词 1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 2．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 全称量词命题 存在量词命题 语言表示 对M中任意一个x， p(x)成立 存在M中的元素x， p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 知识点二　充分条件、必要条件与充要条件 当p⇒q时，称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当pq时，称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇒“若p，则q”为真命题． 充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (1)A是B的充分不必要条件是指A⇒B且B⇒/ A；(2)A的充分不必要条件是B是指B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． 在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围). 含有一个量词的命题的否定是“改量词、否结论”． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　√　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　√　　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　√　　) (4)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题．(　　√　　) (5)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P34 T5改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．(人教A版必修第一册P35 T6改编)下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0 C　解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题． 3．(人教B版必修第一册P40 T9改编)设a，b∈R且ab≠0，则“ab＞1”是“a＞”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 4．(苏教版必修第一册P43 T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，1) 1.(2022·山东枣庄一模)命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为(　　) A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈Z C．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q D　解析：命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为“∃n∈Z，n∉Q”． 2．(2023·湖北襄阳四中模拟)已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，则¬p为(　　) A．∃x<0，ex<1且sin x≥1 B．∃x≥0，ex<1且sin x≥1 C．∃x≥0，ex<1或sin x≥1 D．∃x<0，ex≥1或sin x≤1 B　解析：命题是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，所以¬p：∃x≥0，ex<1且sin x≥1. 1.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(　　) A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C．∃x∈R，f(－x)≠f(x) D．∃x∈R，f(－x)＝－f(x) C　解析：由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，即∃x∈R，f(－x)≠f(x)是真命题，∃x∈R，f(－x)＝－f(x)是假命题． 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上