第一章 第三节 等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第三节　等　式 课标解读 理解等式的性质，掌握等式性质的简单应用． 知识点一　等式的性质与方程的解 1．等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc 2．十字相乘法 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用如图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 3．方程的解集 方程 含有未知数的等式叫方程 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集 解方程 求方程的解的过程叫解方程 知识点二　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1．一元二次方程的解集 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其判别式Δ＝b2－4ac. (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为{，}； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为{－}； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 2．一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为x1＝，x2＝，则有 知识点三　方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． (1)等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立． (2)运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． (3)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (4)解方程组常用的方法：消元法． 1．等式性质的延伸 (1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； (2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换). 2．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 3．以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等式的两边同除以任何实数等式仍成立．(　　×　　) (2)方程x2－2x＋3＝0的解集是空集．(　　√　　) (3)方程组的解集是{x＝3，y＝0}．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(人教B版必修第一册P58习题21A T1改编)下列等式中是恒等式的有(　　) A．a＋b＝b＋a B．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．(x＋2y)2＝x2＋4y2 D．x2－2y2＝(x－y)(x＋y) 答案：ABD 2．(人教B版必修第一册P48练习A T5改编)对任意实数t和s，将t3－s3进行因式分解为____________． 答案：(t－s)(t2＋ts＋s2) 3．(人教B版必修第一册P53 练习B T3改编)关于x的方程x2－2x＋m－1＝0的两根同号，则实数m的取值范围是________． 答案：(1, 2] 4．(人教B版必修第一册P60习题21C T2改编)已知，则＝________． 答案： 用适当的方法求下列方程的解集． (1)x2－2x－8＝0； (2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. 解：(1)方法一　移项，得x2－2x＝8.配方，得(x－1)2＝9.由此可得x－1＝±3. ∴x1＝4，x2＝－2.∴方程的解集为{－2，4}． 方法二　原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0，∴x－4＝0或x＋2＝0.∴x1＝4，x2＝－2. ∴方程的解集为{－2，4}． (2)方法一　原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0， ∴x－2＝0或2x－3＝0.∴x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为{2，}． 方法二　∵a＝2，b＝－7，c＝6，∴Δ＝b2－4ac＝1>0. ∴x＝＝，即x1＝2，x2＝. ∴方程的解集为{2，}． (3)原方程可化为(x－1)2－2(