第一章 第五节 不等式的解集与一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第五节　不等式的解集与一元二次不等式 课标解读 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义． 2．结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系． 3．掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式． 知识点一　一元二次不等式 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 知识点二　分式不等式与整式不等式 1．＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． 2．≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形； 2．当二次项系数大于0时，一元二次不等式解集记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　√　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　√　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　×　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　×　　) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第一册P62 T5改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________． 答案：R 2．(湘教版必修第一册P54例6改编)已知不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－3，－1)，则实数a＝________，b＝________． 答案：4　3 3．(人教A版必修第一册P58 T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案：(－3，3)　解析：由题意有Δ＝4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 1．(2023·江苏泰州模拟)已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A∪B＝(　　) A．(1，2) B．(1，5) C．(2，4) D．(4，5) B　解析：A＝{x|1<x<4}，B＝{x|2<x<5}，故A∪B＝(1，5). 2．解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4. 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式等价于⇔⇔⇔ 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为. 1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是[－，－]，则不等式x2－bx－a＜0的解集为________. 答案：(2，3)　解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，所以由根与系数的关系得解得不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0，解集为(2，3). 2．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________． 答案：－1　1　解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x|－5<x<1}，B＝＝{x|(x－m)(x－2)<0}，因为A∩B＝(－1，n)，所以－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，则－1－m＝0，解得m＝－1，所以B＝{x|－1<x<2}，A∩B＝(－1，1)，则n＝1. 【例1】解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0). 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0， 因为a＞0，所以a(x－)(x－1)＜0. 所以当a＞1，即<1时，解为＜x＜1； 当a＝1时，