第一章 第六节 均值不等式及其应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版 新教材 新高考）

第六节　均值不等式及其应用 课标解读 1．掌握均值不等式≤(a，b>0). 2．能用均值不等式解决简单的最值问题． 知识点一　均值不等式 ≥ (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值，数称为a，b的几何平均值． 知识点二　利用均值不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； (2)当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 1．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立). 2．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)；(2)ab≤()2(a，b∈R)；(3)()2≤(a，b∈R)；(4)＋≥2(a，b同号). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. (1)在运用均值不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正”“定”“等”的条件． (2)注意均值不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用均值不等式求解． (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用均值不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　×　　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　√　　) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　√　　) (4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　×　　) (5)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充分不必要条件．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教B版必修第一册P73例1改编)若x＜0，则x＋(　　) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案：D 2．(人教A版必修第一册P46例3改编)矩形的两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是________． 答案： 3．(北师大版必修第一册P28 T4改编)已知x＞2，则x＋的最小值是________． 答案：4 4．(人教A版必修第一册P48 T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________. 答案：　解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．即所求最大值为. 1.已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 答案：　解析：因为0<x<1，所以4－3x>0，所以x(4－3x)＝·3x·(4－3x)≤×＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．故所求x的值为. 2．函数y＝(x>1)的最小值为________． 答案：2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0，所以y＝＝＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． 1.已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A． B． C．5 D．9 B　解析：＋＝(＋)(a＋b)＝(＋＋5)≥(4＋5)＝，当且仅当＝时，即a＝，b＝时等号成立． 2．(2022·广东广州模拟)已知a>0，b>0，3a＋＝1，则＋3b的最小值为(　　) A．13 B．19 C．21 D．27 D　解析：＋3b＝(＋3b)(3a＋)＝3＋12＋＋9ab≥15＋2＝27，当且仅当＝9ab，即a＝，b＝6时，等号成立，故＋3b的最小值为27. 3．(2022·湖南临澧一中二模)设0<x<1，则＋的最小值为________． 答案：9　解析：因为0<x<1，所以0<1－x<1，则＋＝(＋)[(1－x)＋x]＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，故＋的最小值为9. 1.(2022·湖北武汉模拟)已知正实数a，b满足2a＋b＝ab，则－的最小值为(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 A　解析：∵2a＋b＝ab，∴2a＝b(a－1)，当a＝1时等式不成立，∴a≠1，∴b＝， ∴－＝－＝＋－1≥2 －1＝0，当且仅当＝，即a＝2时取等号，即－的最小值为0. 2．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A． B． C． D． A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0， 所以y＝.由即 解得0<x<1. 所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． 故x＋2y的最小值为. 1.已知正数