第十章 第三节 成对数据的统计分析（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三节　成对数据的统计分析 课标解读 1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 2．了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 4．理解2×2列联表的统计意义．了解2×2列联表独立性检验及其应用． 知识点一　变量的相关关系 1．定义：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．正相关、负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关． 3．线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，则称这两个变量线性相关． 知识点二　样本相关系数 1．计算公式：r＝. 2．样本相关系数r的特征 (1)r∈[－1，1]； (2)当r>0时，称成对样本数据正相关，当r<0时，称成对样本数据负相关； (3)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 知识点三　经验回归方程与最小二乘法 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn). 当a，b的取值为＝，＝－时，Q＝ (yi－bxi－a)2达到最小．将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 知识点四　刻画回归效果的方式 1．残差图法，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． 2．残差平方和法，残差平方和为(yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． 3．利用决定系数R2刻画拟合效果． R2＝1－.R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 知识点五　独立性检验 1．假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示． 则χ2＝． 2．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 3．χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 1．相关关系与函数关系的区别与联系 (1)相同点：两者均是指两个变量的关系． (2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系； ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．(1)求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用经验回归直线过样本点的中心(，). (2)根据经验回归方程计算的值，仅是一个预测值，不是真实发生的值． (3)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段．(　　√　　) (2)经验回归方程＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　　×　　) (3)事件X，Y关系越密切，由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．(　　×　　) (4)两个变量的相关系数的绝对值越接近于1，它们的相关性越强．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P103 T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　) 答案：D 2．(人教A版选择性必修第三册P132例3改编)下面是一个2×2列联表： y1 y2 合计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 合计 b 46 120 其中a，b处填的值分别为(　　) A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74，52 答案：C 3．(苏教版选择性必修第二册P144 例2改编)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做了试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现的A，B两变量有更强的线