第九章 第三节 二项式定理（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三节　二项式定理 课标解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点　二项式定理 1．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0，1，2，…，n). 2．二项式系数的性质 二项展开式形式具有的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (1)二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项． (2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． (3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数部分，包含符号等，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　　×　　) (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　√　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　×　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P31 T4改编)(2x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．26C B．－24C C．25C D．－25C 答案：D 2．(苏教版选择性必修第二册P77例3改编)(x－)6的展开式中的常数项为(　　) A．－150 B．150 C．－240 D．240 答案：D 3．(湘教版选择性必修第一册P192例5改编)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋…＋a7＝________． 答案：－2 4．(人教A版选择性必修第三册P38 T3(5)改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________． 答案：1　解析：令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1. 5．(人教A版选择性必修第三册P34习题T2改编)(x＋2y)·(x－y)5的展开式中x3y3的系数是______． 答案：10 考点 求二项展开式的特定项或特定项系数(自悟通) 1.(2023·福建福州模拟)(2x－y)6的展开式中，x2y4项的系数是(　　) A．30 B．－30 C．60 D．－60 C　解析：由题意，得Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，当k＝4时，x2y4项的系数是15×4＝60，故选C. 2．(2023·湖北武汉高三开学考试)若二项式(x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　) A．2 B． C．1 D． B　解析：二项式(x＋)7展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cx7－k()k＝Cakx7－2k.又展开式中的系数是84，即7－2k＝－3⇒k＝5.所以Ca5＝84，解得a＝.故选B. 3．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案：16　5　解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 求二项展开式中特定项的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k； 第三步，把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或其他量． 考点 二项式系数的性质及各项系数和(精研通) 【例1】(1)若(＋)n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　) A．6 B． C．4x D．或4x (2)若(x2－)n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________． (3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________． 答案：(1)A　(2)255　(3)3　解析：(1)令x