第九章 第四节 随机事件的概率与古典概型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第四节　随机事件的概率与古典概型 课标解读 1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 2．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算． 3．理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 4．会用频率估计概率． 5．理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 知识点一　样本点与样本空间 1．样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，一般地，用ω表示样本点． 2．样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间． 3．有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 知识点二　事件的关系和运算 1．事件的关系 包含关系 相等关系 定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 符号 B⊇A(或A⊆B) A＝B 图示 2.交事件与并事件 并事件(或和事件) 交事件(或积事件) 定义 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 符号 A∪B(或A＋B) A∩B(或AB) 图示 3.互斥事件与对立事件 互斥事件 对立事件 定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 符号 A∩B＝∅ A∪B＝Ω，A∩B＝∅ 图示 知识点三　概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B) 性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B) 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B) 知识点四　概率与频率 (1)随机事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示． (2)频率的稳定性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点五　古典概型 1．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： (1)样本空间的样本点只有有限个；(2)每个样本点发生的可能性相等． 2．古典概型的概率公式 P(A)＝ 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥． 2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 3．随机事件A发生的频率与概率的区别与联系 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近． 4．频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　×　　) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　√　　) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　×　　) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第二册P233 T1改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　) A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶