第九章 第五节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第五节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 课标解读 1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式计算概率． 3．会利用全概率公式计算概率． 4．了解两个随机事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率． 知识点一　相互独立事件 1．定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2．性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，A与也都相互独立． 知识点二　条件概率与全概率公式 1．条件概率的计算公式 条件 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0 含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 记作 P(B|A) 读作 A发生的条件下B发生的概率 计算公式 ①缩小样本空间法：P(B|A)＝；②公式法：P(B|A)＝ 2.条件概率的性质 设P(B|A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B是互斥事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 3．概率的乘法公式 由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式． 4．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．我们称该公式为全概率公式． 1．易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 2．易混淆P(B|A)与P(A|B) 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 3．全概率公式的适用范围 所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．(　　×　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立．(　　×　　) (3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　√　　) (4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第二册P250 T1改编)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为________．(填“互斥”“互为对立”“相互独立”或“相等”) 答案：相互独立 2．(湘教版选择性必修第二册P109例1改编)若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是________． 答案： 3．(苏教版选择性必修第二册P131 T2改编)已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.6，P(B|)＝0.1，则P(B)＝________． 答案：0.5　解析：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.8×0.6＋0.2×0.1＝0.5. 4．(人教A版必修第二册P248例2改编)有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未能解决的概率为________，问题得到解决的概率为________． 答案：　　解析：甲、乙两人都未能解决的概率为(1－)×(1－)＝×＝，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴问题得到解决的概率为1－＝. 考点 相互独立事件的概念(自悟通) 1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中不放回地取球两次，每次取一个球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2(　　) A．是互斥事件 B．是相互独立事件 C．是对立事件 D．不是相互独立事件 D　解析：因为P(A1)＝，若A1发生了，则P(A2)＝＝；若A1不发生，则P(A2)＝，所以A1发生的结果对A2发生的结果有影响，所以A1与A2不是相互独立事件． 2．(2023·河北廊坊模拟)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 C　解析：∵P(A)＝1－P()＝1－＝，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝≠0，∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立．故选C. 3