第九章 第六节 离散型随机变量的分布列、均值与方差（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第六节　离散型随机变量的分布列、均值与方差 课标解读 1.了解离散型随机变量的概念． 2．理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 3．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 知识点一　随机变量 1．随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量． 3．字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 知识点二　离散型随机变量的分布列 1．概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．也可以用表格表示如下： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2.性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示， X 0 1 P 1－p p 称X服从两点分布或0－1分布． (2)超几何分布 定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 知识点三　离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列为 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为 我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 3．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定． (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． (3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确． (4)超几何分布中随机变量X的数学期望E(X)＝＝np. 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　√　　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　×　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　√　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(人教A版选择性必修第三册P60 T2(1)改编)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 答案：ABC 2．(苏教版选择性必修第二册P106 T2改编)设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P p 则p的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 3．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取