第九章 第七节 二项分布及其应用、正态分布（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第七节　二项分布及其应用、正态分布 课标解读 1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征． 2．了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的特征、均值、方差及其含义． 知识点一　二项分布 1．伯努利试验 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验 n重伯努利试验 (1)定义：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)特征：同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结果相互独立 2.二项分布 (1)二项分布的定义 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． (2)二项分布的均值与方差 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点二　正态分布 1．正态分布 对任意的x∈R，f(x)＝ >0(其中μ∈R，σ>0为参数)，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．正态曲线的特点 (1)它的图象在x轴上方； (2)x轴和曲线之间的区域的面积为1； (3)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (4)曲线在x＝μ处达到峰值； (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．参数μ和σ对正态曲线形状的影响 (1)当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中； (2)当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散． 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 5．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3． 1．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： (1)是否为n次独立重复试验． (2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2．“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P＝Cpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 3．二项分布与两点分布的联系：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布． 4．在X～N(μ，σ2)中，随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取得的概率很小． 对于X～N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　√　　) (2)二项分布和超几何分布都是有放回抽样．(　　×　　) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　√　　) (4)一个随机变量如果是众多互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第三册P77 T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　) A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45 答案：A 2．(北师大版选择性必修第一册P213例1改编)某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，则发生险情时，至少有2台报警的概率是________． 答案：0.972 3．(人教A版选择性必修第三册P75例3改编)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________． 答案： 4．(苏教版选择性必修第二册P129 T3改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2).若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________． 答案：0.954 5．(人教A版选择性必修第三册P87 T1改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80，25)，