第六章 第三节 数列求和（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三节　数列求和

考点  分组转化法求和(精研通)

1.分组转化求和：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．

2．分组转化法求和的常见类型

(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．

(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.

记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，

则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.

故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

本例(2)变为求数列{bn}的前n项和Tn.

解：由(1)知bn＝2n＋(－1)nn.

当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；

当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]

＝2n＋1－2＋－n＝2n＋1－－.

∴Tn＝

 

利用分组转化法求和的三个关键点

(1)会“列方程”，即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量；

(2)会“用公式”，即会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式；

(3)会“分组求和”，观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列．

 

(2022·河北衡水泰华中学模拟)已知数列{an}满足2nan＋1＝(n＋1)an(n∈N*)，且a1＝1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝＋(－1)n·n，求数列{bn}的前2n项的和S2n.

解：(1)∵2nan＋1＝(n＋1)an，a1＝1，n∈N*，

∴an≠0，∴＝·，

∴＝·，＝·，＝·，…，＝×，

将上述式子左右分别相乘得＝()n－1·，∴an＝n·()n－1(n≥2).

∵a1＝1满足上式，∴an＝n·()n－1.

(2)∵bn＝＋(－1)n·n＝()n－1＋(－1)n·n，令cn＝＝()n－1，dn＝(－1)n·n，

{cn}的前2n项和为T2n，{dn}的前2n项和为M2n，

∴T2n＝＝2－()2n－1，

M2n＝(－1)＋2＋(－3)＋4＋…＋(－1)2n－1·(2n－1)＋(－1)2n·2n＝n，

∴S2n＝T2n＋M2n＝n＋2－()2n－1.

考点  裂项相消法求和(精研通)

裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．