第六章 第二节 第1课时 等差数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第二节　等差、等比数列

知识点一　等差数列

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：三个数a，A，b组成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(3)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．

3．等差数列的性质

(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t(p，q，s，t∈N*)，则ap＋aq＝as＋at．

(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列．

知识点二　等比数列

1．等比数列的有关概念

(1)一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝．

3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N*).

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…成等比数列，公比为qk．

(5)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，其公比为qn．

已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

(1)在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

(2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．

(3)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0).

(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0；

(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如0，0，0，….

在等比数列{an}中，若ak·al＝am·an(k，l，m，n∈N*)，则不一定有k＋l＝m＋n成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立．

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B，其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件．

(2)在数列{an}中，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)