第五章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第二节　平面向量基本定理及坐标表示

知识点一　平面向量基本定理

1．基底：不共线的向量{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

知识点二　平面向量的坐标运算

1．向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

2．向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

知识点三　平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．

关于基底向量的三个关注点

(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．

(3)如果对于一组基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到

(1)向量与坐标之间用等号连接．

(2)点的坐标是在表示点的字母后直接加坐标．

(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定．

(4)a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.

(1)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔存在不全为零的x，y∈R，使xa＋yb＝0⇔x1y2－x2y1＝0.

一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　　×　　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　√　　)

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　×　　)

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第二册P29例4改编)已知a＝(3，6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　　)

A．(1，2)    B．(－1，－2)

C．(－1，2)    D．(1，－2)

答案：B

2．(人教B版必修第二册P155例5改编)如图，＝2，＝a，＝b，＝c，下列等式中成立的是(　　)

A．c＝b－a

B．c＝a－b

C．c＝2a－b

D．c＝2b－a

答案：B

3．(苏教版必修第二册P25例1改编)已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点，设＝a，＝b，则＝(　　)

A．(a＋b)    B．(a－b)

C．(b－a)    D．a＋b

答案：A

4．(湘教版必修第二册P29 T6改编)已知向量＝(1，－2)，＝(2，－3)，＝(3，t)，若A，B，C三点共线，则实数t＝________．