第五章 第一节 平面向量的概念与线性运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）
第五章 平面向量、复数
第一节 平面向量的概念与线性运算
课标解读 | 1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素． 3．掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义． 4．掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义． 5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． |
知识点一 向量的有关概念
名称 | 定义 | 备注 |
向量 | 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) | 向量由方向和长度确定，不受位置影响 |
零向量 | 长度为0的向量 | 其方向是任意的，记作0 |
单位向量 | 长度等于1个单位长度的向量 | 非零向量a的单位向量为± |
平行向量 | 方向相同或相反的非零向量 | 0与任一向量平行(或共线) |
相等向量 | 长度相等且方向相同的向量 | 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 |
相反向量 | 长度相等且方向相反的向量 | 0的相反向量为0 |
知识点二 向量的线性运算
向量运算 | 定义 | 法则(或几何意义) | 运算律 |
加法 | 求两个向量和的运算 |
| 交换律： a＋b＝b＋a； |
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|
| 三角形法则
平行四边形法则 | 结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) |
减法 | 求a与b的相反向量－b的和的运算 |
三角形法则 | a－b＝a＋(－b) |
数乘 | 求实数λ与向量a的积的运算 | |λa|＝|λ||a|； 当λ>0时， λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 | λ(μa)＝ (λμ)a； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝ λa＋λb |
知识点三 向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
向量概念的四点注意
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
向量线性运算的三点提醒
(1)两个向量的和仍然是一个向量；(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点；(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．
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对于任意两个向量a，b，都有：
(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2).
当a，b不共线时，(1)的几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；(2)的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．
(1)在△ABC中，若D是BC的中点，则
＝
(
＋
)；
(2)O为△ABC的重心的充要条件是
＋
＋
＝0；
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则
＋
＝2
.
(4)三点共线的充要条件：A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任意一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1(λ，μ为实数).
一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ )
(3)若向量与向量
是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ )
二、版本互鉴
1. (人教A版必修第二册P4例2改编)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与
共线的向量有( )
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