第五章 第三节 平面向量的数量积及综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三节　平面向量的数量积及综合应用

知识点一　平面向量的数量积

1．平面向量数量积的有关概念

向量的夹角	已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角
数量积的定义	已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0
投影向量	|a|cos θe叫做向量a在b方向上的投影向量，其中e是与b方向相同的单位向量

2.平面向量数量积的运算律

知识点二　平面向量数量积的坐标表示

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，例∠BAC不是与的夹角，因为与的起点不重合．

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；

(3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；

(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立).

一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　√　　)

(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　×　　)

(3)(a·b)c＝a(b·c).(　　×　　)

(4)两个向量的夹角的范围是.(　　×　　)

二、版本互鉴

1．(苏教版必修第二册P22 T3改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝(　　)

A．45°    B．135°  

C．－45°    D．30°

答案：A

2．(人教A版必修第二册P34例10改编)已知△ABC的三个顶点为A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形    B．直角三角形

C．钝角三角形    D．等腰三角形

B　解析：由已知，＝(6，6)，＝(－2，2)，∴·＝6×(－2)＋6×2＝0，即AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形．

3．(人教A版必修第二册P36 T3改编)已知点A(0，)，B(0，0)，C(1，0)，则cos 〈，〉＝(　　)

A．－    B．－  

C．    D．

C　解析：∵A(0，)，B(0，0)，C(1，0)，

∴＝(1，0)，＝(1，－)，