第四章 第四节 三角函数的图象与性质（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第四节　三角函数的图象与性质 课标解读 1.能画出y＝sinx，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质，理解正切函数在(－，)上的性质． 知识点一　用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1．在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 2．在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上是增函数，无减函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ＋，0)(k∈Z) 对称中心是(，0)(k∈Z)，无对称轴 (1)写单调区间时，不要忘记k∈Z. (2)求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误． (3)函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期都是，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期是. (4)y＝sin x与y＝cos x的对称轴经过函数图象的最高(低)点，三角函数图象的对称中心不一定在函数图象上，如y＝tan x. (5)正切函数的图象是由直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的． (6)①y＝tan x无单调递减区间； ②y＝tan x在整个定义域内不单调． 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的图象的对称轴是y轴.(　　×　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　×　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　×　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　√　　) (5)若sin x＞，则x＞.(　　×　　) (6)由sin (＋π)＝sin 知，π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P199例1改编)函数y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图是(　　) 答案：D 2．(苏教版必修第一册P191 T2改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 3．(人教A版必修第一册P238例2改编)某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，游客从离地面最近的位置进座舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下说法正确的是(　　) A．摩天轮离地面最近的距离为4米 B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos t＋68 C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30 D．∃t1，t2∈[0，20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 B　解析：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8米，故A不正确；t分钟后，转过的角度为t，则h＝60－60cos t＋8＝－60cos t＋68，故B正确；h＝－60cos t＋68的周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，则t1，t2∈[0，30]，又高度相等，则t1，t2关于t＝15对称，则＝15，则t1＋t2＝30；令0≤t≤π，解得0≤t≤15，