第四章 第六节 第1课时 利用正弦定理、余弦定理解三角形（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第六节　正弦定理、余弦定理及其实际应用 课标解读 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 知识点一　正弦定理、余弦定理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 变形 a＝2R sin A， b＝2R_sin_B， c＝2R_sin_C； sin A＝， sin B＝， sin C＝； a∶b∶c＝ sin_A∶sin_B∶sin_C； a sin B＝b sin A， b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高). (2)S＝bc sin A＝ac_sin_B＝ab_sin_C． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径). 知识点二　正弦定理、余弦定理的实际应用测量中几个术语的意义及图形表示 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 在△ABC中，常用以下结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)在三角形中，大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． (2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　×　　) (2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　×　　) (3)在△ABC中，＝.(　　√　　) (4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第二册P44例6改编)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c＝(　　) A． B．2 C． D．3 B　解析：由余弦定理得cos B＝，即－＝，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值已舍去). 2．(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° A　解析：由正弦定理得＝，解得sin A＝，因为a＜b，所以A为锐角，所以A＝30°. 3．(人教A版必修第二册P44 T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝. 第❶课时　利用正弦定理、余弦定理解三角形 考点 正弦定理、余弦定理的简单应用(自悟通) 1.(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 D　解析：由余弦定理，得cos 120°＝.化简得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去). 2．(2023·湖北襄阳高三期末)在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则角B的最大值为(　　) A． B． C． D． A　解析：设AB＝x，则x>0，由余弦定理，得cos B＝＝＝＋≥2 ＝，当且仅当x＝2时，等号成立．因为0<B<π，则0<B≤.即角B的最大值为. 3．