第四章 第六节 第2课时 解三角形应用举例（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第❷课时　解三角形应用举例 考点 测量距离问题(精研通) 【例1】如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m． 答案：900　解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°， 所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ. 又PB为公共边， 所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA. 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900 m，故PQ＝900 m， 所以P，Q两点间的距离为900 m． 测量距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________ m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 答案：60　解析：如图，过点A作AD垂直CB的延长线，垂足为D，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46 m，AB＝≈50 m．在△ABC中，∠BAC＝37°，∠ACB＝30°，根据正弦定理得BC＝≈＝60 m． 考点 测量高度问题(精研通) 【例2】如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m. 答案：600　解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得＝， 即＝，解得AC＝600 m. 在△ACD中，∵tan ∠DAC＝＝， ∴CD＝AC tan ∠DAC＝600×＝600(m). 测量高度问题的三个注意点 (1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD. 解：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝， 解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m). 考点 测量角度问题(精研通) 【例3】已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？(参考数据：sin 38°＝，sin 22°＝) 解：如图，设缉私艇在C处截住走私船．D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x n mile/h， 则BC＝0.5x n mile，AC＝5 n mile，依题意， ∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°， 所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得 sin ∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝38°.又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船． 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 海里的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的