第三章 第一节 导数的概念及运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三章　导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 课标解读 1.理解导数的概念及几何意义． 2．掌握导数的运算． 3．会使用导数公式求解导数． 知识点一　导数 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0)＝ ＝_． (2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线的斜率，曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数y＝f(x)的导函数 当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 知识点二　导数公式 1．导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax_ln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3．复合函数的导数 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． (1)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0，(f(x0))′是函数值f(x0)的导数且(f(x0))′＝0. (2)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (1)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x). (2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x). (3)①注意′≠；②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. (1)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (2)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　×　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).(　　×　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　√　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　×　　) (5)函数f(x)＝sin (－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第二册P81 T2(6)改编)若函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝(　　) A． B． C．1＋x D．1－x 答案：B 2．(人教A版选择性必修第二册P81 T3改编)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________． 答案：3　解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3. 3．(人教A版选择性必修第二册P78 T3改编)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为____________． 答案：2x－y＋1＝0　解析：∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.故所求切线方程为2x－y＋1＝0. 4．(人教A版选择性必修第三册P81 T6改编)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝________． 答案：－1 考点 导数的计算(自悟通) 1.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．(3x)′＝3x