第三章 第二节 第1课时 导数与函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第二节　导数及简单应用 课标解读 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 知识点一　函数的单调性 1．函数单调性与导数的关系 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0 函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增 f′(x)<0 函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 函数y＝f(x)在区间(a，b)内是常数函数 2.充分、必要条件与导数及函数单调性 (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． 知识点二　函数的极值 极小值 极大值 定义 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值 图象 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点三　函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．即“f′(x)>0在(a，b)上恒成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件． (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系． (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数． (3)“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0为f(x)的极值点”的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． (2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． (3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 函数极值与最值的关系 (1)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取得，则必定在极值处取得． (2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　×　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．(　　√　　) (3)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　×　　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　×　　) (5)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　×　　) (6)开区间上的单调连续函数无最值．(　　√　　) 二、