第三章 拓展深化三 同构法解复合型函数问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

拓展深化三　同构法解复合型函数问题 在数学解题过程中，经常会遇到左、右两边结构相似的方程、不等式等，若直接求解困难较大，这时需要应用同构思想，通过变形进行合理转化． 导数问题中经常出现含参等式或不等式，如果通过变形，使左右两边结构形式完全相同，能找到式子两边对应的同一函数模型，这就是同构法． 注意：同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式． 同构式 的应用 (1)在方程中的应用：如果方程f(a)＝0和f(b)＝0呈现同构特征，则a，b可视为方程f(x)＝0的两个根． (2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式 同构法构 造函数的 策略 (1)指对各一边，参数是关键； (2)常用“母函数”：f(x)＝xex，f(x)＝ex±x；寻找“亲戚函数”是关键； (3)信手拈来凑同构，凑常数、x、参数； (4)复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围 【例】关于x的方程ex－＝1在(0，＋∞)上只有一个实根，则实数k＝(　　) A．e－1 B．1 C．0 D．e B　解析：方程ex－＝1，可化为xex＝k＋x＋ln x，即xex＝k＋ln (xex). 记t＝xex(x>0)，则方程化为t＝k＋ln t，即k＝t－ln t. 因为t′(x)＝(x＋1)ex>0，所以函数t(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以t(x)>0×e0＝0. 故方程ex－＝1只有一个实根等价于方程k＝t－ln t(t>0)只有一个实根． 记g(x)＝t－ln t(t>0)，则g′(t)＝1－＝， 当0<t<1时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减；当t>1时，g′(t)>0，函数g(t)单调递增． 又t→0时，g(t)→＋∞，t→＋∞时，g(t)→＋∞. 所以由方程k＝t－ln t(t>0)只有一解，可得k＝g(1)＝1－ln 1＝1，故选B. [探究提高] 常见的同构变形有： (1)axeax≥x ln x⇒axeax≥ln x·eln x，可构造函数f(x)＝xex来进行研究． (2)x2ln x＝a ln a－a ln x⇒x2ln x＝a ln ⇒x ln x＝ln ，可构造函数f(x)＝x ln x来进行研究． (3)＋1>ln (ax－a)(a>0)⇒＋1>ln a＋ln (x－1)⇒－ln a＋x>ln (x－1)＋x－1⇒＋ln >ln (x－1)＋(x－1)，可构造函数f(x)＝x＋ln x来进行研究． (4)x＋≥xα－ln xα(x>0)⇒－ln ≥xα－ln xα(x>0)，可构造函数f(x)＝x－ln x来进行研究． (5)xα＋1ex≥－αln x⇒xex≥⇒xex≥－αln x·e－αln x，可构造函数f(x)＝xex来进行研究． 学科网（北京）股份有限公司 $