第三章 第三节 第1课时 利用导数研究恒(能)成立问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第三节　导数的综合应用 第❶课时　利用导数研究恒(能)成立问题 恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，难度略大． 考点 分离参数法求参数范围(精研通) 【例1】已知函数f(x)＝x ln x，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围． 解：依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a≤ln x＋在x∈[1，＋∞)恒成立，亦即a≤(ln x＋)min，x∈[1，＋∞). 设g(x)＝ln x＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝. 令g′(x)＝0，得x＝1. 当x≥1时，因为g′(x)≥0，故g(x)在[1，＋∞)上是增函数．所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝1. 故a的取值范围是(－∞，1]. 分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 已知函数f(x)＝x(ln x＋a)＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为2x－y－1＝0. (1)求a，b的值； (2)若对任意的x∈(1，＋∞)，f(x)≥m(x－1)恒成立，求正整数m的最大值． 解：(1)由f(x)＝x(ln x＋a)＋b，得f′(x)＝ln x＋a＋1， 由切线方程可知，f(1)＝2－1＝1，∴f′(1)＝a＋1＝2，f(1)＝a＋b＝1， 解得a＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝x(ln x＋1)， 则x∈(1，＋∞)时，f(x)≥m(x－1)恒成立等价于x∈(1，＋∞)时，m≤恒成立． 令g(x)＝，x＞1，则g′(x)＝. 令h(x)＝x－ln x－2，则h′(x)＝1－＝， ∴当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． ∵h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－2ln 2＞0， ∴∃x0∈(3，4)，使得h(x0)＝0， 当x∈(1，x0)时，g′(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞0，∴g(x)min＝g(x0)＝. ∵h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，∴ln x0＝x0－2， ∴g(x)min＝g(x0)＝＝x0∈(3，4)， ∴m≤x0∈(3，4)，即正整数m的最大值为3. 考点 等价转化法求参数范围(精研通) 【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． ②当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<；由f′(x)<0，得x>. 所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，＋∞). (2)f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即ln x－a(x－1)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立． 设g(x)＝ln x－a(x－1)，x>0，则g′(x)＝－a，且g(1)＝0， ①当a≥1时，g′(x)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立， 则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(1)＝0，即a≥1时满足题意． ②当0<a<1时，由(1)知，g(x)在(1，)上单调递增，所以当x∈(1，)时，g(x)>g(1)＝0， 即0<a<1时不满足题意(舍去). ③当a≤0时，由(1)知，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝0，即a≤0时不满足题意(舍去). 综上，实数a的取值范围是[1，＋∞). 等价转化法求参数范围的思路 遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． 已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数． (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1， f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2， 所以所求切线方程为2x－y＋1＝0. (2)令h(x