第二章 第二节 第1课时 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第二节　函数的性质 课标解读 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．了解函数奇偶性的概念和几何意义． 3．了解函数周期性的概念和几何意义． 知识点一　函数的单调性 1．增函数与减函数 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有f(x)≤M；∃x0∈D，使得f(x0)＝M ∀x∈D，都有f(x)≥M；∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点三　函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 2.奇偶函数的等价形式 若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 知识点四　函数的周期性 1．周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征： 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． 单调性的两种等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2， (1)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． (2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 关于函数单调区间需注意： (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. (1)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (2)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 函数最值的结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值． (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) (2)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　×　　) (3)所有的单调函数都有最值．(　　×　　) (4)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　) (6)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一