第二章 第四节 第1课时 指数与对数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

第四节　指数函数、对数函数 第❶课时　指数与对数 课标解读 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 知识点一　指数 1．根式的性质 (1)()n＝a(a使有意义)； (2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝． 2．分数指数幂的意义 (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 知识点二　对数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0；②logaa＝1；③＝N；④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数． 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2) ＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：＝N(a>0，且a≠1，N>0). 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) (1)()＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (4)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(人教A必修第一册P109 T2)设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－＝0 D．(a)4＝a 答案：D 2．(苏教版必修第一册P79 T2改编)设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) 答案：C 3．(人教A版必修第一册P127 T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A． B． C．2a＋b D．2b＋a A　解析：log1210＝＝＝. 考点 指数幂运算(自悟通) 1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝ D　解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a－)4＝，故D正确． 2．若＝3，求的值． 解：由＝3，两边平方，得x＋x－1＝7， ∴x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45. 由()3＝33，得＝27. ∴＝. 3．化简下列各式： 解：(1)原式＝1＋×＝1＋×－＝1＋－＝. ＝－·＝－. (3)原式＝＝. 指数幂的运算技巧 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点 对数式的化简与求值(自悟通) 1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝. 2．(多选)(2022·广东汕头二模)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝ac C．＝＋ D．＝－ AD　解析：由题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)， 则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M， ∴＝logM4，＝logM6，＝logM9. ∵logM4＋logM9＝2logM6， ∴＋＝，即＝－， 整理得，ab＋bc＝2ac，易知A，D正确，B，C错误． 3．(2023·河北唐山模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作